Вместе с отцом юный Куников Цезарь Львович побывал в Персии. В 1924 году отец с сыном поехал восстанавливать доменное производство в Макеевку. Здесь юноша начал трудиться на металлургическом заводе «Унион»-«Югосталь»: учеником лаборанта, лаборантом, слесарем, токарем.
В конце 1925 года вся семья Куниковых переехала в Москву. Здесь он работал слесарем на фабрике «Союз», затем токарем на тормозном заводе. В 1928 году поступил в Высшее военно-морское училище им. М. В. Фрунзе в Ленинграде. После 5 месяцев учёбы тяжело заболел и был отчислен из училища. После выздоровления служил срочную воинскую службу механиком на флоте. В 1930 году вернулся в Москву. В 1931 году поступил в МВТУ имени Баумана. С 1932 года — заведующий сектором оборонной промышленности Московского комитета комсомола. Окончил Московскую промышленную академию и Московский машиностроительный институт им. Бубнова. Получив два диплома: инженера-организатора машиностроительного производства и технолога-механика, 26-летний Цезарь Львович пришёл на Московский завод шлифовальных станков. Начав с самой нижней руководящей ступеньки — мастером токарного отделения, уже в марте 1938 года Цезарь был назначен главным технологом завода. С октября того же года — начальник технического управления Наркомата машиностроения, Наркомата тяжёлого машиностроения, директор ЦНИИ технологии машиностроения, ответственный редактор всесоюзной газеты «Машиностроение». Награждён медалью «За трудовое отличие».
С началом Великой Отечественной войны старший политрук запаса Куников вступил добровольцем в армию. Добился перевода в ВМФ в сентябре 1941 года. Командиром 14-го отряда водного заграждения Азовской флотилии (впоследствии 13-й отряд сторожевых катеров) воевал у Таганрога и Мариуполя. Во время освобождения Ростова - на - Дону от немцев в конце ноября 1941 года, Куников вместе со своим отрядом водных заграждений, при поддержки партизан взорвал мост у станции Синявка. Тем самым был отрезан путь гитлеровцев к Таганрогу. Во время этой операции отрядом было уничтожено большое количество техники и живой силы врага. В качестве комбата морской пехоты активно принимал участие в обороне Темрюка, Керчи. В дальнейшем командовал 305-м отдельным батальоном морской пехоты в составе Черноморской группы войск.
По плану проведения операции «Море», для отвлечения сил противника, в ночь с 3 на 4 февраля 1943 года десантный отряд моряков-добровольцев (275 человек) под командованием майора Ц. Л. Куникова с минимальными потерями (трое раненых, один убитый) высадился на занятом врагом, хорошо укреплённом побережье в районе Новороссийска, у поселка Станичка. Стремительным ударом десантный отряд выбил немцев из опорного пункта и прочно закрепился на захваченном плацдарме. На рассвете разгорелся ожесточённый бой. Десантники в течение суток отразили 18 атак противника. К концу дня боеприпасы были на исходе. Положение казалось безвыходным. Тогда отряд майора Куникова совершил внезапный налёт на артиллерийскую батарею противника. Истребив орудийный расчёт и захватив орудия, они открыли из них огонь по атакующим вражеским солдатам. Ввиду неудачной высадки главных сил десанта, плацдарм, занятый подразделением Ц. Л. Куникова стал из отвлекающего — основным. Семь дней десантники отбивали яростные атаки врага. Удерживая освобожденную территорию до подхода основных сил, моряки выбивали (зачищали) противника из многоэтажных зданий. Впервые в практике подразделений советской морской пехоты Ц. Л. Куников провел практическое обучение личного состава технике высадки на берег в ночное время в зимних условиях, овладения холодным оружием, стрелковым и артиллерийским вооружением противника.
В ночь на 12 февраля 1943 года Куников был смертельно ранен взрывом «шальной» мины на Малой земле, эвакуирован в Геленджик, и там 14 февраля 1943 года скончался от ран.
За мужество и отвагу Куникову Цезарю Львовичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 апреля 1943 года посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Его имя носит большой десантный корабль проекта 775 (775/II), состоящий на вооружении Черноморского флота ВМФ России.
В его честь названа площадь у Садового кольца в Басманном районе Москвы. Расположена на углу Садовой-Черногрязской улицы и улицы Покровка.
